Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点E．与直线AD交于点A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），点D的坐标为（0，1）．直线AD与x轴交于点B．
（1）求直线AD的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）求△ABC的面积；
（4）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）根据直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点E，得到OC=OE=3，即△COE是等腰直角三角形，据此可得∠ACO的度数；
（3）先求得BC=5，再根据三角形面积计算公式进行计算即可；
（4）根据A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），B（-2，0），运用两点间距离公式进行计算即可．

解答 解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），D（0，1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}k+b=\frac{5}{3}}\\{1=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
故直线AD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）∵直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点E，
∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，
∴C（3，0），E（0，3），
∴OC=OE=3，
即△COE是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°；
（3）∵直线AD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴当y=0时，x=-2，即B（-2，0），
∴BC=5，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{6}$；
（4）根据两点间距离公式可得，
AB=$\sqrt{（\frac{4}{3}+2）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{5}{3}\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了两直线相交问题，待定系数法求一次函数解析式的运用，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．