Question

【题目】在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图1，点E落在BA的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．

（2）如图2，点D在运动过程中，DE⊥AC时，AB=4 ，求DE的值．

（3）如图3，点F为线段DE中点，AB=，求出动点D从B运动到C，点F经过的路径长度．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）DE=；（3）

【解析】

（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；

（2）过点A作AM⊥BC于M，过点D作DH⊥AB于H，构建直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出BM、CM，设设BH=DH=x，利用三角函数列出方程，求出BD，进而求得答案；

（3）根据主从联动的原理，可知点F的轨迹是线段BC顺时针旋转45度，再缩短为根号二分之一，求出BC即可.

解：（1）如图1，

∵将线段AD绕A顺时针旋转90°，得到线段AE，

∴AE=AD，∠AED=∠ADE=45°

∵∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠AED=90°

故答案为：90°

（2）如图2，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DH⊥AB于H，

在Rt△ABM中，∠B=45°, AM⊥BC，AB=4，

∴AM=BM=

在Rt△DHB中，∠B=45°, DH⊥AB，设BH=DH=x，

∴BD=

在Rt△AMC中，∠AMC=90°, ∠ACB=30°，

∴

∴

∴CM=

∵DE⊥AC，AE=AD

∴AC是线段DE的垂直平分线，

∴CD=CE，∠ECA=∠DCA=30°

∴∠ECD=60°

∴△CDE是等边三角形

∴∠EDC=60°,CD=DE

∴∠ADH=180°-∠EDC-∠ADE-∠BDH=30°

在Rt△ADH中，AH=4-x，

∴tan∠ADH=

∴AH=

∴=4-x，

∴

∴BD=

∴DM=BD-BM==

∴CD=CM-DM=-()=

∴DE=

（3）如图3，连接AF,过A作AM⊥BC,

∵△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，

∴∠DAF=45°，

∴AF相当于AD逆时针旋转了45°，再变为AD，

又∵点D轨迹为BC，∴点F的轨迹为BC逆时针旋转45°，再变为BC,

在等腰Rt△ABM中，AB=，∴AM=BM=

在Rt△ACM中，∠ACM=30°，

∴tan30°=,

∴CM=

∴BC=CM+BM=

∴点F的路径为：BC=

所以点F的路径为：