Question

【题目】如图1，已知抛物线与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点c．

（1）若抛物线过点T(1，-)，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在(1)的条件下，点P的坐标为(-1，1)，点Q(6，t)是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)M(-，0)

【解析】

（1）把T的坐标代入解析式，求出a的值，写出解析式；
（2）根据点D在第二象限，∠DAB为钝角，所以当A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似时，只能∠DAB与∠ACB对应，所以分以下两种情况讨论：①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD，
②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD，分别列比例式，得方程求解；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：先求出Q的坐标为（6，10），通过轴对称作出使四边形PQNM的周长最小时的M、N的位置，因为PQ、NM为定值，要想周长最小，则需要PM+NQ最小，即想办法做到一直线上，因此作P关于x轴的对称点P′，找到P′G=2，且P′G∥x轴，利用平移构建平行四边形P′GNM，从而得到x轴上的M和N，求出M的坐标．
解法二：同理得Q的坐标，作P关于x轴的对称点P′，过Q作QH∥x轴，交y轴于H，在QH上从Q起取一点Q'，使QQ'=2，连接Q'P'，交x轴于一点，则此点为M，根据P'Q'的解析式可得M的坐标．

（1）如图1，把T（1，﹣）代入抛物线y=（x﹣2）（x+a）得：

﹣=（1﹣2）（1+a），

解得：a=4，

∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2；

（2）当x=0时，y=×（﹣2）×a=﹣2，

∴C（0，﹣2），

当y=0时，（x﹣2）（x+a）=0，

x1=2，x2=﹣a，

∴A（﹣a，0）、B（2，0），

如图2，过D作DE⊥x轴于E，

设D（m，n），

∵点D在第二象限，∠DAB为钝角，

∴分两种情况：

①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD，

∴tan∠BAC=tan∠ABD，即，

∴，

n=，

则，

解得：m=﹣2﹣a或2，

∴E（﹣2﹣a，0），

由勾股定理得：AC=，

∵，

∴，

BD=，

∵△BDA∽△ABC，

∴，

∴AB2=ACBD，

即（a+2）2=，

解得：0=16，此方程无解；

②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD，

∵B（2，0），C（0，﹣2），

∴OB=OC=2，

∴△OBC是等腰直角三角形，

有BC=2，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

∴∠ABC=∠ABD=45°，

∴DE=BE，

n=﹣m+2，

∴BD=，

∵△DBA∽△ABC，

∴，

∴AB2=BDBC，

∴（a+2）2=2=4n，

则，

解得：，

则a=2+2；

（3）解法一：当x=6时，y=（6﹣2）（6+4）=10，

∴Q（6，10），

如图4，作P关于x轴的对称点P′，过P′作P′G∥x轴，且P′G=2，连接GQ交x轴于N，过P′作P′M∥GN，交x轴于M，

此时，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM为定值，所以此时，四边形PMNQ的周长最小，

∵P（﹣1，1），

∴P′（﹣1，﹣1），

∵P′G∥MN，P′M∥GN，

∴四边形P′GNM是平行四边形，

∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM，

∴G（1，﹣1），

设GQ的解析式为：y=kx+b，

把G（1，﹣1）和Q（6，10）代入得：，

解得：，

∴GQ的解析式为：y=x﹣，

当y=0时，x=，

∴N（，0），

∵MN=2，

∴M（﹣，0）．

解法二：如图5，同理得Q（6，10），

P（﹣1，1）关于x轴的对称点P′（﹣1，﹣1），过Q作QH∥x轴，交y轴于H，在QH上从Q起取一点Q'，使QQ'=2，连接Q'P'，交x轴于一点，则此点为M，此时，四边形PMNQ的周长最小，

∵Q'（4，10），P′（﹣1，﹣1），

易得P'Q'的解析式为：y=x+，

当y=0时， x+=0，x=﹣，

∴M（﹣，0）．