题目内容

某数学兴趣小组的同学借鉴课本研究二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的经验，继续研究函数y=x⁴-2x²-1．
探索研究
（1）先探究函数y=x⁴-2x²-1的图象与性质．
①填写下表，画出该函数的图象：
x … -2 - $数学公式$ -1 - $数学公式$ 0 $数学公式$ 1 $数学公式$ 2 …
y … …
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x⁴-2x²-1 的最大或最小值．
解决问题
（2）设平行于x轴的直线与y轴的交点坐标为（0，k），试讨论函数y=x⁴-2x²-1的图象与该平行于x轴的直线公共点的个数．（直接写出答案）

解：（1）①填表如下：

x	…	-2	- $\text{[math]}$	-1	- $\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	2	…
y	…	7	- $\text{[math]}$	-2	- $\text{[math]}$	-1	- $\text{[math]}$	-2	- $\text{[math]}$	7	…

画图如下：

②函数图象关于y轴对称；
函数图象有两个最低点；
当-1≤x≤0或x≥1时，y随x的增大而增大；
当0≤x≤1或x≤-1时，y随x的增大而减小；
函数图象与x轴有两个公共点．
③y=（x²-1）²-2，
当x²-1=0时，即x=±1时，函数y有最小值-2．

（2）当k=-2或k＞-1时，平行于x轴的直线与函数y=x⁴-2x²-1的图象有2个公共点；
当k=-1时，平行于x轴的直线与函数y=x⁴-2x²-1的图象有3个公共点；
当-2＜k＜-1时，平行于x轴的直线与函数y=x⁴-2x²-1的图象有4个公共点．
分析：探索研究：
（1）①利用代入法，即可求出x与y的对应值，画出图象即可；
②利用二次函数的性质即可解答；
③利用配方法求出函数最值即可；
解决问题：
（2）分当k=-2或k＞-1时，当k=-1时，当-2＜k＜-1时．三种情况讨论可得函数y=x⁴-2x²-1的图象与该平行于x轴的直线公共点的个数．
点评：此题主要考查了二次函数综合题，涉及的知识点有函数图象的画法和函数的性质以及函数最值问题，利用数形结合得出是解题关键．