Question

【题目】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.

（1）如图1，连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿着A→F→B→A匀速运动，Q点沿着C→D→E→C匀速运动，在运动过程中：

① 已知点P的速度为10cm/s，点Q的速度为8cm/s，运动时间为t秒，问当t为何值时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？

② 点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），问当a，b满足怎样的关系式时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？

Answer 1

【答案】（1）四边形AFCE为菱形，见解析；（2）①t=s ；②a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）

【解析】

（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

②分3种情况讨论，分别得出a+b=24，即可得出答案．

（1）四边形AFCE为菱形

证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF

∴四边形AFCE为平行四边形

又∵EF⊥AC

∴四边形AFCE为菱形

（2）解：①当P点在AF上时，Q点在CD上，

此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒8cm，运动时间为t秒

∴PC=CF+FP=AF+FP=10t，QA=24﹣8t

∴10t=24﹣8t

∴t=s

②由题意得，四边形APCO是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

（i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，

AP=CQ，即a=24﹣b，得a+b=24

（ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，

AQ=CP，即24﹣b=a，得a+b=24

（iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，

AP=CQ，即24﹣a=b，得a+b=24

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）