Question

8．如图，O为原点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，作AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（2，3）．
（1）反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$（x＞0）；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，
①求直线AE的函数表达式；
②若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你写出线段AN与线段ME的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据点E为CD的中点，可找出点E的纵坐标，结合点E在反比例函数图象上即可求出点E的坐标，再由点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的函数表达式；
（3）AN=ME，根据直线AE的函数表达式可求出点M的坐标，结合点A、E的坐标可得出点B、C的坐标，由此即可得知：点B、C为线段OM的三等分点，再结合平行线的性质即可得出点A、E为线段MN的三等分点，由此即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$（x＞0）．
故答案为：y=$\frac{6}{x}$（x＞0）．
（2）∵AB=CD，点E为线段CD的中点，
∴点E的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
将y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{6}{x}$中，则有$\frac{3}{2}$=$\frac{6}{x}$，
解得：x=4，
∴点E的坐标为（4，$\frac{3}{2}$）．
设直线AE的表达式为y=mx+n，
将点A（2，3）、E（4，$\frac{3}{2}$）代入y=mx+n中得：$\left\{\begin{array}{l}{3=2m+n}\\{\frac{3}{2}=4m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$．
（3）AN=ME，利用如下：
令y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中y=0，则0=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
解得：x=6，
∴点M的坐标为（6，0）．
∵点A（2，3）、E（4，$\frac{3}{2}$），
∴点B（2，0），点C（4，0），
∴点B、C为线段OM的三等分点，
∵AB∥CD（平移的性质），
∴点A、E为线段MN的三等分点，
∴AN=ME．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）求出点E的坐标；（3）找出点A、E为线段MN的三等分点，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．