Question

15．如图，开口向上的抛物线y=$\frac{1}{a}$（x-a）（x-3a）的顶点为E，与x轴相交于点A、B两点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点的圆与抛物线的对称轴在x轴上方的交点为D．已知圆的半径是$3\sqrt{5}$，则四边形AEBD的面积是27+9$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意A（a，0），B（3a，0），C（0，3a），对称轴x=2a，顶点E（2a，-a），由OC=OB，O′C=O′B，推出点O′在直线y=x上，推出O′（2a，2a），在Rt△AO′F中，根据AO′²=AF²+O′F²，列出方程求出a，即可解决问题．

解答 解：如图，设圆心为O′，DE与AB交于点F．

由题意A（a，0），B（3a，0），C（0，3a），
∴对称轴x=2a，顶点E（2a，-a），
∵OC=OB，O′C=O′B，
∴点O′在直线y=x上，
∴O′（2a，2a），
在Rt△AO′F中，∵AO′²=AF²+O′F²，
∴45=a²+（2a）²，
∵a＞0，
∴a=3，
∴A（3，0），B（9，0），E（6，-3），D（6，6+3$\sqrt{5}$），
∴四边形AEBD的面积=$\frac{1}{2}$•AB•DE=$\frac{1}{2}$×6（6+3$\sqrt{5}$+3）=27+9$\sqrt{5}$．
故答案为27+9$\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、三角形的外接圆、四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．