Question

观察下面的变形规律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；
（2）利用分式的加减法则计算即可得到结果；
（3）原式利用拆项方法变形，抵消即可得到结果．

解答：（1）解：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）证明：

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（3）解：原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

．

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．