Question

6．已知f₁=$\frac{1}{1-\frac{1}{t}}$，f₂=$\frac{1}{1-{f}_{1}}$，f₃=$\frac{1}{1-{f}_{2}}$，…，f_n+1=$\frac{1}{1-{f}_{n}}$（n为正整数），那么f₂₀₁₆化简后的结果为$\frac{1}{t}$．（结果用t表示）

Answer 1

分析 根据f₁=$\frac{1}{1-\frac{1}{t}}$，f₂=$\frac{1}{1-{f}_{1}}$，f₃=$\frac{1}{1-{f}_{2}}$，…，f_n+1=$\frac{1}{1-{f}_{n}}$（n为正整数），进行化简可以发现其中的规律，然后根据发现的规律可以得到f₂₀₁₆化简后的结果，从而可以解答本题．

解答 解：∵f₁=$\frac{1}{1-\frac{1}{t}}$，f₂=$\frac{1}{1-{f}_{1}}$，f₃=$\frac{1}{1-{f}_{2}}$，…，f_n+1=$\frac{1}{1-{f}_{n}}$（n为正整数），
∴${f}_{1}=\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=\frac{t}{t-1}$，${f}_{2}=\frac{1}{1-{f}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{t}{t-1}}=1-t$，${f}_{3}=\frac{1}{1-（1-t）}=\frac{1}{t}$，${f}_{4}=\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=\frac{t}{t-1}$，…，
∴由上可知，三个一循环，2016÷3=672，
∴f₂₀₁₆=f₃=$\frac{1}{t}$．
故答案为：$\frac{1}{t}$．

点评 本题考查分式的混合运算，解题的关键是通过化简前几项发现这组数的规律．