Question

3．如图，⊙O的直径AB=2，C、D在⊙O上，AB与CD的延长线交于E 点，AC=CD，AD=DE，则劣弧AC的长为$\frac{2}{5}$π．

Answer 1

分析 连接BC、OC，设∠E=α，求出∠DAE=∠E=α，∠ADC=2α，∠ABC=∠CAD=∠ADC=2α，根据∠ACB=90°求出5α=90°，求出∠AOC=72°，根据弧长公式求出即可．

解答 解：连接BC，OC，

设∠E=α，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠E=α，∠ADC=∠E+∠DAE=2α，
∴∠ABC=∠CAD=∠ADC=2α，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
即5α=90°，
∴∠E=18°，
∴∠AOC=72°，
劣弧AC的长=$\frac{72×π×1}{180}$=$\frac{2}{5}$π，
故答案为：$\frac{2}{5}$π．

点评 本题考查了圆周角定理，弧长公式等知识点，能求出∠AOC的度数是解此题的关键．