Question

已知∠AOB=60°，点P到射线OA、OB的距离分别为2

3

和

3

，垂足分别为M、N，则ON的长为

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：分类讨论

分析：分四种情况进行讨论：①如图1所示，点P在∠AOB内；②如图2所示，点P在∠AOB外；③如图3所示，点P在∠AOB对顶角的内部；④如图4所示，点P在∠AOB外．

解答：解：分四种情况：
①如图1所示，延长MP交OB于点C．
在Rt△OCM中，∵∠AOB=60°，
∴∠MCO=30°．
在Rt△PCN中，PC=2PN=2

3

，NC=

PN

tan30°

=3，
∴MC=4

3

，OC=

MC

sin60°

=8，
∴ON=OC-NC=8-3=5；
②如图2所示，由条件可知∠PON=30°，
∴PO=2PN=2

3

．
∴点C与点M重合，即点M与点O重合．
即ON=PN•tan60°=3；
③如图3，情况与图1完全相同；
④如图4，情况与图2也完全相同．
综上所述，ON的长为5或3．
故答案为：5或3．

点评：本题考查了解直角三角形，难度适中．运用分类讨论与数形结合是解题的关键．