Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在y轴正半轴上，顶点A的坐标为（0，2），设顶点C的坐标为（a，b）．

（1）顶点B的坐标为　 ，顶点D的坐标为　 （用a或b表示）；

（2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就说这个点的坐标是方程2x+3y＝12的解．已知顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值；

（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG，

①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移　 个单位长度，再向下平移　 个单位长度的两次平移；

②若点P（m，n）是对角线BD上的一点，且点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，试说明平移后点P的对应点P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．

Answer 1

【答案】（1）（0，b），（a，2）；（2）；（3）①3，2；②P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．

【解析】

（1）由题意，结合长方形的性质可得点B和点D的坐标；

（2）因为点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，则将B、D两点坐标带入方程2x+3y＝12，得到方程组，求解即可得到答案.

（3）①本题考查平移，利用平移的性质可以得到答案；

②将点P的坐标和P′的坐标代入方程2x+3y＝12，若两者相等，即可证明.

（1）由A的坐标为（0，2），C的坐标为（a，b），以及长方形ABCD的性质可知，

AB=b,AD=a,则B（0，b），D（a，2），

故答案为（0，b），（a，2）；

（2）∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，

∴，

解得．

（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG，

①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的两次平移；

故答案为3，2；

②点P（m，n）平移后的坐标为（m+3，n﹣2），

∵点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，

∴2m+3n＝12，

将P′的坐标代入方程2x+3y＝12， 2（m+3）+3（n﹣2）＝2m+3n＝12，

∴P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．