Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B（－3，0）、C（1，0）两点，与y轴交于点A（0，2），抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点E作EG⊥AB于点G，Q为线段AC的中点，当△EGF周长最大时，在 轴上找一点R，使得|RE－RQ|值最大，请求出R点的坐标及|RE－RQ|的最大值；

（3）在（2）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（， ），R（，0），最大值为；（3）P′（， ）或（， ）或（， ）．

【解析】试题分析：（1）把A、B、C的坐标代入抛物线解析式，求出a、b、c的值即可得出解析式；

（2）先证△EFG∽△BAO，得，所以当EF最大时△EFG周长最大，求出AB的解析式，设出点E、F的坐标，表示出EF的长，求出EF最大时E点坐标，根据中点坐标求法求出点Q坐标，表示出EQ的解析式，当E、Q、R在同一直线上时|RE－RQ|最大，求出此时R点坐标和EQ的长即为答案；

（3）用待定系数法求出PA的解析式为y＝，

①当∠P’PA＝90°时，根据相互垂直的两条直线比例系数互为负倒数求出PP’的解析式为y＝，设P’（x， ），由EP’＝EP列方程求出x的值，即可得出点P’的坐标；

②当∠PAP’＝90°时，同理求出AP’的解析式，利用前面的方法即可得出点P’的坐标．

试题解析：

解：（1）∵抛物线经过点A（0，2）、B（－3，0）、C（1，0），

∴，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y＝；

（2）∵EG⊥AB，EP⊥OB，

∴∠EGF＝∠FPB＝90°，

∴∠E＋∠EFG＝90°，∠PBF＋∠BFP＝90°，

∵∠EFG＝∠BFP，

∴∠E＝∠PBF，

又∠EGF＝∠AOB，

∴△EFG∽△BAO，

∴，

∵AB是定值，

∴当EF最大时△EFG周长最大，

设AB的解析式为y＝kx＋b，

则有，

解得，

∴AB的解析式为y＝x＋2，

设E（x， ），则F（x， x＋2）．

∴EF＝()－(x＋2)＝ ＝，

当x＝时EF有最大值，

此时E（， ）．

∵Q是AC中点，A（0，2），C（1，0），

∴Q（，1），

EQ的解析式为：y＝，

当E、Q、R在同一直线上时|RE－RQ|最大，

令y＝0，则＝0，

x＝，

∴R（，0），

此时|RE－RQ|最大值＝EQ＝＝；

（3）∵EP⊥x轴，E（， ），

∴P（，0），

∵A（0，2），

∴PA的解析式为y＝，

①当∠P’PA＝90°时，

设PP’的解析式为y＝，

把P（，0）代入得b＝，

∴PP’的解析式为y＝，

设P’（x， ），

∵EP’＝EP，

∴，

解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），

＝，

∴P’（ ， ）；

②当∠PAP’＝90°时，

同理可得AP’的解析式为：y＝，

设P’（x， ），

∵EP’＝EP，

∴，

解得：x1＝，x2＝，

当x＝时， ＝，

当x＝时， ＝，

∴P’（ ， ）或（， ）．

综上P’ （， ）或（ ， ）或（， ）．