题目内容
【题目】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC下方一点,∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD, CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根据∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,则 ∠ACE+∠ACD=180°,易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路,三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC．点D是边BC下方一点,∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）DA=DB+DC；（2）
DA=DB+DC，证明见解析；
【解析】
（1）结论：DA=DB+DC．理由：由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）结论：DA=DB+DC．理由：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；
（1）结论DA=DB+DC．理由如下：
如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；
（2）结论: DA=DB+DC．理由如下：
如图,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE
∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴点D、C、E在同一条直线上．
∵∠DAE=90°，DA=EA
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DA2+AE2=DE2，
∴2DA2=( DB+DC)2
∴DA=DB+DC．
