Question

【题目】定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．

（1）已知二次函数y=﹣(x﹣2)2＋3，则它的“反簇二次函数”是__________________；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣2mx＋m+1和y2=ax2+bx＋c，其中y1的图像经过点（1，1）.若y1＋y2与y1互为“反簇二次函数”.求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．

Answer 1

【答案】(1)、y=（x﹣2）2+3；(2)、－16．

【解析】分析：(1)、根据“反簇二次函数”的定义得出答案；(2)、根据y1的图像经过点A（1,1）求出m的值，然后得出y1+y2的函数解析式，根据“反簇二次函数”的定义得出a、b、c的值，从而得出y2的函数解析式，根据二次函数的性质得出最小值．

详解：（1）y=（x﹣2）2+3

（2）∵y1的图像经过点A（1,1）， ∴2﹣2m+m+2=2． 解得m=2．

∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1． ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+c=（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，

∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”， ∴y1+y2=-2（x﹣1）2+1=﹣2x2+4x﹣1，

∴解得：． ∴函数y2的表达式为：y2=﹣4x2+8x﹣4．

当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．