Question

某商品进价是每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，市场调查的发现，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件．已知商品的进价为每件20元．设售价为每件x元，每星期售出利润为y元，在确保不亏本的情况下，回答下列问题：
（1）在降价的情况下，请写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
（2）无论是在降价还是涨价的情况下．如何定价才能使每星期的利润最大？
（3）设商品在销售过程中，销售经理要求，不管销售员是涨价还是降价，都要每星期获利不少于6000元，该商品得到销售价格销售员可以自己确定，若销售价格为整数，则该销售员可以有权确定

 

种不同的价格（直接写结果）．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据一星期利润等于每件的利润×销售量，列函数关系式即可；
（2）设每星期所获利润为y，然后讨论：若每件涨价x元或每件降价x元，根据一星期利润等于每件的利润×销售量分别得到y=（60+x-40）（300-10x）或y=（60-40-x）（300+x），然后把它们配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案．
（3）根据（2）中的函数关系以及自变量的取值范围，分别讨论即可得到该售货员确定的价格．

解答：解：（1）由题意可知：y=（60-40-x）（300+20x）
=（20-x）（300+20x）
=-20x²+100x+6000
=-20（x²-5x-300）
=-20（x-2.5）²+6125 （0≤x≤20），
（2）当涨价时，
y=（60-40+x）（300-10x）（0≤x≤30），
=（20+x）（300-10x），
=-10x²+100x+6000，
=-10（x²-10x）+6000，
=-10[（x-5）²-25]+6000，
=-10（x-5）²+6250，
当x=5时，y的最大值是6250，
即定价：60+5=65（元），
当降价时，
y=（60-40-x）（300+20x）
=（20-x）（300+20x）
=-20x²+100x+6000
=-20（x²-5x-300）
=-20（x-2.5）²+6125 （0≤x≤20），
所以定价为：60-2.5=57.5（元）时利润最大，最大值为6125元．
综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元；
（3）当涨价时，y=-10（x-5）²+6250≥6000，
∵0≤x≤20，x为正整数，
∴x的值是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，16，17，18，19，20；
当降价时，y=-20（x-2.5）²+6125≥6000，
∵0≤x≤20，x为正整数，
∴x的值是1，2，3，5，
∴共19种，
故答案为：19．

点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k，然后利用当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k等性质解决实际问题．