Question

已知：如图1，在矩形ABCD中，把△BCD沿BD向上折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点M．
（1）求证：BM=DM；
（2）如图2，把△BAD沿BD向下折叠，使点A落在A′处，DA′交BC于点N，连接MN，判断四边形MBND是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接MA′和MC，若CD=6，AD=8，请求出△MA′C的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质和等角对等边即可证明；
（2）先证明四边形MBND是平行四边形，再根据有一组邻边相等的四边形是菱形求解即可；
（3）作A′H⊥BC于H，连接MA′，MC．先根据勾股定理得到x的值，再根据S_△MA′C=S_{四边形MBA′C}-S_△MBA′列式计算即可求解．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠MDB，
∵∠MBD=∠CBD，
∴∠MBD=∠MDB，
∴MB=MD；
（2）菱形．理由如下
解：同理可知BN=ND，
∴∠NBD=∠NDB，
∵∠MBD=∠DBN，
∴∠MBD=∠BDN，
∴BM∥ND，
∵MD∥BN，
∴四边形MBND是平行四边形，
∵MB=MD，
∴四边形MBND是菱形；
（3）解：作A′H⊥BC于H，连接MA′，MC，
设NC=NA′=x
在RT△BA′N中BA′=6，A′N=x，BN=8-x
∴6²+x²=（8-x）²，
∴x=

7

4

，
∵BA′•A′N=A′H•BN
∴A′H=

42

25

∴S_△MA′C=S_{四边形MBA′C}-S_△MBA′
=

1

2

×8×6+

1

2

×8×

42

25

-

1

2

×6×

25

4

=

2447

100

．

点评：考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，三角形的面积计算，综合性较强，有一定的难度．