Question

小乐发明了一个魔术盒，当任意有理数对（a，b）放入盒中时，会得到一个新的有理数：a³+3a²b+3ab²+b³．
例如把（3，-2）放入其中，就会得到3³+3×3²×（-2）+3×3×（-2）²+（-2）³=19-18=1．
（1）现将有理数对（-2，3）放入盒中得到有理数m，再将有理数对（m，-7）放入盒中后，得到的有理数是多少？有一位有思考的老师给我提出了这样的修改建议很好，先谢他了!七年级最后一题他认为难度不够，建议修改如下：
（2）小乐先放入有理数对（2014，-2015），如果再放入有理数对（-2015，2014），那么两次得到的有理数会相等吗？请你说明理由．
（3）在（2）中，你还能放入有理数对（-2013，

 

），（

 

，2013）使得得到的有理数也和得到的有理数相等．
（4）小乐先放入有理数对（m，n），请你放入有理数对（

 

，

 

），让得到有理数与小乐得到有理数相等．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：新定义

分析：（1）根据运算的规定代入（-2，3）得到m，再进一步代入（m，-7）得出结果即可；
（2）代入有理数对（2014，-2015）和（-2015，2014），进行计算验证即可；
（3）类比（2）的方法，代入得有理数对的两个数的和相等即可；
（4）利用（3）的结论得出结果．

解答：解：（1）依题意可得：m=（-2）³+3×（-2）²×3+3×（-2）×3²+3³=-8+36-54+27=1，
最终的有理数为：1³+3×1²×（-7）+3×1×（-7）²+（-7）³=-20+147-343=-216；
（2）有理数对（2014，-2015）为：2014³+3×2014²×（-2015）+3×2014×（-2015）²+（-2015）³=2014³-3×2014²×2015+3×2014×2015²-2015³
有理数对（-2015，2014）为：（-2015）³+3×（-2015）²×2014+3×（-2015）×2014²+2014³
=-2015³+3×2014×2015²-3×2014²×2015+2014³=2014³-3×2014²×2015+3×2014×2015²-2015³
∴小乐先放入有理数对（2014，-2015），如果再放入有理数对（-2015，2014），那么两次得到的有理数相等；
（3）∵a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³，
∴只要代入有理数对的两个数的和相等即可，
-2013+2012=-2014+2013=-1；
（4）小乐先放入有理数对（m，n），和为m+n；放入有理数对（n，m），得到有理数与小乐得到有理数相等．

点评：此题考查有理数的混合运算，关键是找出运算的规律，解决问题．