Question

已知关于x的方程x²﹣2ax﹣a+2b=0，其中a、b为实数。
（1）若此方程有一个根为2a（a＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵方程x²﹣2ax﹣a+2b=0有一个根为2a，
∴4a²﹣4a²﹣a+2b=0，
整理，得b=，
∵a＜0，
∴a＜，
即a＜b；
（2）△=4a²﹣4（﹣a+2b）=4a²+4a﹣8b，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，都有4a²+4a﹣8b≥0，即a²+a﹣2b≥0，
∴对于任何实数a，都有b≤，
∵=（a+）²﹣，
当a=﹣时，有最小值﹣，
∴b的取值范围是b≤﹣。