Question

已知关于x的方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可．
（2）利用求根公式计算出方程的两根x₁=3k-1，x₂=2，则可设b=2k-1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．

解答：（1）证明：△=[-（3k+1）]²-4×1×（2k²+2k），
=k²-2k+1，
=（k-1）²，
∵无论k取什么实数值，（k-1）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）x²-（3k+1）x+2k²+2k=0，
因式分解得：（x-2k）（x-k-1）=0，
解得：x₁=2k，x₂=k+1，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，
当a、b为腰，则a=b=6，而a+b＞c，a-b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4=16；
当b、c为腰，则k+1=2k，解得k=1，
∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立；
当a、c为腰 k+1=6 则k=5，
∴b=10，
∴三角形的周长为：6+6+10=22．
综上，三角形的周长为16或22．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．