Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：OD∥AC；
（2）当AB=10，cos∠ABC=

5

5

时，求AF及BE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）若要证明OD∥AC，则可转化为证明∠C=∠ODB即可；
（2）连接AD，首先利用已知条件可求出BD的长，再证明△ADC∽△AFD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AF及BE的长．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，

（2）连接AD，
∵AB为直径，
∴AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵AB=10，cos∠ABC=

5

5

，
∴BD=AB•cos∠ABC=2

5

，
∴AD=4

5

，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵AC∥OD，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，
∴△ADC∽△AFD，
∴

AD

AF

=

AC

AD

，
∴

4 5

AF

=

10

4 5

，
∴AF=8，
∵OD∥AF，
∴

EO

EA

=

OD

AF

，
∴

BE+5

BE+10

=

5

8

，
∴BE=

10

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和相似三角形的判定和性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．