已知:如图所示.点P.Q分别代表两个小区.直线l代表临近小区的一条公路．点P到直线l的距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$千米.两点P.Q所在直线与直线l的夹角为45°.两小区P.Q之间的距离为1千米．根据居民出行的需要.计划在公路l上的某处设置一个公交车站．考虑到修路的费用问题.希望车站的位置到小区P和小区Q的距离之和m最短.请在公路l上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

已知：如图所示，点P，Q分别代表两个小区，直线l代表临近小区的一条公路．点P到直线l的距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$千米，两点P、Q所在直线与直线l的夹角为45°，两小区P、Q之间的距离为1千米．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站．考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区P和小区Q的距离之和m最短，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示，保留画图痕迹，不写作法），并求出m的值．

分析如图，作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q，交直线l与点M，点M即为所求，由已知条件得到∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，于是得到∠OPN=∠QNM=45°，求得ON=OP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，由对称的性质得P′N=PN=3，∠MNP′=45°，证得∠QNP′=90°，求出NQ=4，P′Q=5，根据PM=PM，即可得到结论．

解答解：如图，作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q，交直线l与点M，点M即为所求，
如图，由题意，∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴∠OPN=∠QNM=45°，
∴ON=OP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴PN=3，
由对称的性质得P′N=PN=3，∠MNP′=45°，
∴∠QNP′=90°，
∵PQ=1，
∴NQ=4，
∴P′Q=5，
∵PM=PM，
∴m=PM+QM=P′M+QM=P′Q=5．