Question

嘉淇想证明三角形内角和是180°和其他一些的命题．请完成下列一些命题和证明．

（1）怎样证明三角形内角和是180°呢？

（2）已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？

命题：　底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形　

证明：　证明：在△ABD和△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD　

由此我们不难发现：　此命题是互逆命题　

那么怎样证明呢？请写出证明过程．（可以画出作图痕迹．）

Answer 1

【考点】命题与定理；等腰三角形的性质．

【分析】（1）先写出已知、证明，过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，利用平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根据平角的定义进行证明；

（2）根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可．

【解答】解：（1）已知：△ABC，如图1，

求证：∠A+∠B+∠C=180°，

证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠A，∠2=∠B，

∵∠C+∠1+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°．

（2）如图2，已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，

求证：∠BAD=∠CAD．

证明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD．

它的逆命题是：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形，成立．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键时把三角形三个角的和转化为一个平角，同时注意文字题证明的步骤书写．