Question

如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC₁∥OC，交AB与点C₁，然后过C₁点继续作直线D₁C₁∥OC，交x轴于点D₁，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S₁，△DC₁D₁的面积为S₂，依此类推，后面的三角形面积分别是S₃，S₄…，那么S₁=　　，若S=S₁+S₂+S₃+…+S_n，当n无限大时，S的值无限接近于　　．

Answer 1

【考点】一次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】根据直线AB的解析式，易得OB=，OA=3，即∠OBA=60°，而C是Rt△OAB的中点，那么易得△OCB是等边三角形，则∠COD=30°，OC=；

（1）首先求△OCD的面积，已知∠DCO=∠DOC=30°，那么△OCD是等腰三角形，过D作OC的垂线设垂足为E，易得OE的长，通过解直角三角形可求得DE的值，从而根据三角形的面积公式得到△OCD的面积；

（2）求S的值，需要从整体出发；过O作OC₀∥DC，那么OC₀⊥AB，易可求出△OC₀B、△OCC₀的值，通过观察，△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…都是相似三角形，△ODC、△OD₁C₁、△D₁C₂D₂…也都是相似三角形，因此上述两种相似三角形的面积和将△OC0A的面积分为两部分，且它们的比为△OC₀C与△ODC的面积比，可据此求出S的值．

【解答】解：过O作OC₀⊥AB于C0，过D作DE⊥OC于E；

由直线AC的解析式可知：

当y=0时，x=3，则OA=3；

当x=0时，y=，则OB=；

故∠OBA=60°，∠OAB=30°；

由于C是Rt△AOB斜边AB的中点，

所以OC=CB，则△OBC是等边三角形；

∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；

∴OE=CE=；

（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，

则DE=，S_△OCD=OC•DE=；

（2）易知：S_△AOB=OA•OB=，S_△BOC=S_△AOB=，S_△OBC0=S_△OCC0=S_△OBC=；

∴S_△OC0A=S_△OAB﹣S_△OBC0=﹣=；

由题意易得：△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…都相似，△ODC、△OD₁C₁、△D₁C₂D₂…也都相似；

设△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…的面积和为S′，则：

S′：S=S_△OC0C：S_△OCD=： =3：2，

∴S=S_△OC0A=×=；

故答案为：，．

【点评】此题主要考查了图形面积的求法，涉及到一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、直角三角形的性质、等边三角形及等腰三角形的性质等知识，注意此题中整体思想的运用．