Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B的坐标分别是（-1，0）、（5，0），与y轴交于点C，连接AC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ∥AC交抛物线的对称轴于点Q，当PQ=AC时，求m的值；
（3）设以O、C、D、P为顶点的四边形的面积为S，当点P在y轴右侧的抛物线上时，求S与m之间的函数关系式；
（4）M是x轴上的一点，若以A、C、M、P为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分P在对称轴左右两侧讨论即可；
（3）分点P在点D的上方或下方两种情形讨论即可解决问题．
（4）以A、C、M、P为顶点的四边形是平行四边形有四种情形，分别求解即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c可得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×{5}^{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$．

（2）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$的对称轴x=2，
当点P在对称轴左侧时，如图1中，2-m=1，m=1．

当点P在对称轴右侧时，如图2中，m-2=1，m=3．

（3）过点P作PE⊥CD于点E．
当0＜m＜2时，如图3中，S=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{2}$）+$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{2}$=-m²+4m+5．

当m＞4时，S=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$）+$\frac{1}{2}$m×$\frac{5}{2}$=m²-$\frac{11}{4}$m．


（4）①如图5中，当P₁与D重合时，四边形ACDM₁是平行四边形，易知AM₁=CD=4，∴M₁（3，0）．

②如图6中，当四边形ACM₂P₂是平行四边形时，作P₂H⊥x轴于H．
由△ACO≌△M₂P₂H，可得P₂H=OC=$\frac{5}{2}$，M₂H=OA=1，
当y=-$\frac{5}{2}$时，-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{2}$，解得x=2±$\sqrt{14}$，
∴OH=2+$\sqrt{14}$，M₂（3+$\sqrt{14}$，0）．

③如图7中，当AC是平行四边形DCM₃A的对角线时，易知M₃（-5，0）．

④如图8中，当四边形ACM₄P₄是平行四边形时，同法可得M₄（3-$\sqrt{14}$，0）．

点M的坐标为（3，0）或（3+$\sqrt{14}$，0）或（-5，0）或（3-$\sqrt{14}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．