Question

3．已知：如图AB∥CE，BE平分∠ABC，CP平分∠BCE交BE于点P．
（1）求证：△BCP是直角三角形；
（2）若BC=5，S_△BCP=6，求AB与CE之间的距离．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质，得出∠ABC+∠BCE=180°，再根据BE平分∠ABC，CP平分∠BCE，求得∠EBC+∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCE）=90°，即可得出△BCP是直角三角形；
（2）过点P作PD⊥BC于点D，PF⊥AB于点F，延长FP交CE于点H，根据BE，CP分别平分∠ABC，∠BCE，得出PD=PF=PH，再根据S_△BCP=6，求得PD=2.4，进而得出AB与CE之间的距离是4.8．

解答 解：（1）∵AB∥CE，
∴∠ABC+∠BCE=180°，
又∵BE平分∠ABC，CP平分∠BCE，
∴∠EBC+∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCE）=90°，
∴△BCP是直角三角形；

（2）过点P作PD⊥BC于点D，PF⊥AB于点F，延长FP交CE于点H．
又∵AB∥CE，
∴PH⊥CE，
又∵BE，CP分别平分∠ABC，∠BCE，
∴PD=PF=PH，
∵BC=5，S_△BCP=6，
∴PD=2.4，
∴FH=4.8，
即AB与CE之间的距离是4.8．

点评 本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用角平分线的性质以及三角形的面积进行计算．