Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，AC、BD交于点O，AE平分∠BAC，DF垂直AE，交AB于点F，交AE于点H，交AC于点G．求证：
（1）OG=

1

2

BF；
（2）AE=DF．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）过点B作BP⊥BD交DF的延长线与点P，利用三角形的中位线，得出OG=

1

2

PB，再利用AE平分∠BAC，DF⊥AE，对顶角相等，以及三角形的内角和，求得∠P=∠PFB，得出PB=BF得出最后结论；

（2）由正方形的性质证得△ABE≌△DAF，得出结论即可．

解答：解：（1）如图，

过点B作BP⊥BD交DF的延长线与点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD
∴PB∥AC，
∴DG=PG
∴OG=

1

2

PB
∵AE平分∠BAC，∠BAC=45，DF⊥AE
∴∠HAG=∠HAF=∠GDO=22.5°
∴∠AFH=∠AGH=∠P=67.5°
∴∠PFB=∠AFH=∠P=67.5°
∴PB=BF
∴OG=

1

2

BF．
（2）∵∠AEB=90°-∠EAB=67.5°，
∴∠AFD=∠AEB，
在△ABE和△DAF中，

∠ABE=∠DAF ∠AEB=∠AFD AB=AD

∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，注意利用正方形中的特殊角度是解决问题的关键．