Question

【题目】如图，在中，，点从点出发以每秒2个单位的速度沿向终点运动，过点作的垂线交折线于点，当点不和的顶点重合时，以为边作等边三角形，使点和点在直线的同侧，设点的运动时间为（秒）．

（1）求等边三角形的边长（用含的代数式表示）；

（2）当点落在的边上时，求的值；

（3）设与重合部分图形的面积为，求与的函数关系式；

（4）作直线，设点关于直线的对称点分别为，直接写出时的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）的值为秒或秒．

【解析】

（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时，根据30度的直角三角形的性质或特殊的三角函数列式可得结论；

（2）根据PQ=PM，列出关于t的方程即可解答；

（3）分三种情况：①当时，Q在AC上，如图2，△PQM与△ABC重合部分图形是等边△PMQ，

②当时，Q在BC上，如图5，△PQM与△ABC重合部分图形是四边形PEDQ，

③当时，Q在BC上，如图4，△PQM与△ABC重合部分图形是等边△PMQ，

根据面积公式可得结论；

（4）分两种情况：

①当Q在AC上时，如图6，根据AC=AQ+CQ，列关于t的方程可得结论；

当Q在BC上时，如图7，根据CQ=Q'E=2PQ，列关于t的方程可得结论．

解：（1）由题意，得，在中，

∵，

∴，

∴，当点与点重合时，如图①，

∵，

∴，

∴，即，当点在边上时，如图②，

即

当点在边上时，如图③，即，

在中，

∵，，

∴；

（2）当点落在上时，如图④，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴ ；

（3）分三种情况：①当时，点在上，如图②，与重合部分图形是等边，

∴；

②当时，点在上，如图⑤，与重合部分图形是四边形，

由（2）得，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴

③当时，点在上，如图④，与重合部分图形是等边，

∴

综上所述，与的函数关系式为

（4）分两种情况：

①当点在上时，如图⑥，，延长、交于同一点，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由对称得：，

∴，中，，，

∵，

∴，

∵，

∴．

②当点在上时，如图⑦，当时，点在上，连接，并延长、交上同一点为，易得，

∴，由（2）知，

∴，由得，

解得，则时的值为秒或秒．