Question

【题目】如图①，正方形中，点是对角线的中点，点是线段上(不与，重合)的一个动点，过点作且交边于点．

(1)求证：．

(2)如图②，若正方形的边长为2，过作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化?若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

(3)如图③，用等式表示线段，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PF为定植是 ，证明见解析；（3），证明见解析

【解析】

（1）作辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论；

（2）如图2，连接OB，通过证明△OBP≌△FPE，得PF=OB，则PF为定值是

（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA= ， ，整理可得结论.

证明：（1）如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N

∵PB⊥PE，

∴∠BPE=90°

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠D=90°

∵AD∥MN

∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°

∴∠MPB+∠MBP=90°, ∠MPB+∠NPE=90°

∴∠EPN=∠MBP

Rt△PNC中，∠PCN=45°

∴△PNC是等腰直角三角形

∴PN=CN

∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°

∴四边形MBCN是矩形

∴BM=CN

∴BM=PN

∴△BMP≌△PNE（ASA）

∴PB=PE

（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，理由是：

如图2，连接OB

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，

∴OB⊥AC

∴∠AOB=90°

∴∠AOB=∠EFP=90°

∴∠OBP+∠BPO=90°

∵∠BPE=90°

∴∠BPO+∠OPE=90°

∴∠OBP=∠OPE

由（1）得：PB=PE

∴△OBP≌△FPE

∴PF=OB

∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形

∴∠BAO=45°

∴

∴PF为定植是

（3）如图1，，理由是：

∵∠BAC=45°

∴△AMP是等腰直角三角形

∴

由（1）知：PM=NE

∴

∵△PCN是等腰直角三角形

∴