Question

【题目】两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．

（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；

（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点B1落在AB边的中点．理由见解析.

【解析】

（1）根据三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）是两块完全相同的三角板可得AC=A1C1，AB=A1B1，∠A=∠A1，再根据公共边，即可得到结果．

（2）由已知条件可得四边形BCB1C1是平行四边形，再证明△BCB1为等边三角形，可得到BB1=B1C=BC，可得到结果．

（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）是两块完全相同的三角板，

∴AC=A1C1，AB=A1B1，∠A=∠A1

∴在图②中A1B=AB1

∴△A1BC1≌△AB1C．

（2）解：点B1落在AB边的中点．理由如下：

如图②所示，由已知条件知BC=B1C1，BC∥B1C1

∴四边形BCB1C1是平行四边形．

要使四边形BCB1C1是菱形，

则BC=CB1

∵∠ABC=∠A1B1C1=60°，

∴△BCB1为等边三角形．

∴BB1=B1C=BC，

又∵∠A=30°，

在直角三角形ABC中，BC=AB，

∴BB1=AB，

∴点B1落在AB边的中点．