Question

【题目】如图(1)，点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．

(1)试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．

(2)如图(2)，如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问(1)中所得的结论还成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）AR=AQ，证明见详解了；（2）AR=AQ，证明见详解.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，根据等角的余角相等求出∠BQP=∠PRC，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQR，从而得到∠AQR=∠PRC，然后根据等角对等边证明即可；

（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C，再根据对顶角相等可得∠ABC=∠PBQ，从而得到∠C=∠PBQ，然后根据等角的余角相等求出∠Q=∠R，最后根据等角对等边证明即可．

（1）解：AR=AQ．

理由如下：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵PR⊥BC，

∴∠B+∠BQP=90°，

∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∵∠BQP=∠AQR（对顶角相等），

∴∠AQR=∠PRC，

∴AR=AQ；

（2）AR=AQ依然成立．

理由如下：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠ABC=∠PBQ（对顶角相等），

∴∠C=∠PBQ，

∵PR⊥BC，

∴∠R+∠C=90°，∠Q+∠PBQ=90°，

∴∠Q=∠R，

∴AR=AQ．