Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+

8

3

x+c与x轴交于点（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是

40

3

，求P点的坐标；
（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+

8

3

x+c与x轴交于点（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据△ABP的面积是

40

3

，得出|y|=

20

3

，再利用图象开口方向得出y的值，进而求出即可；
（3）根据已知得出△DCE∽△OCB，得到

CD

CO

=

CE

CB

=

DE

BO

，再表示出EO，BO，DB，DE长度即可得出答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+

8

3

x+c与x轴交于点（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
∴

0=a- 8 3 +c c=4

，
解得：

a=- 4 3 c=4

，
∴y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）令y=0，可得x₁=-1，x₂=3，
∴B点坐标为：（3，0），
设P点坐标为（x，y），
依据题意得出：

1

2

×4×|y|=

40

3

，
∴|y|=

20

3

，
∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；
=-

4

3

（x-1）²+

16

3

，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，

16

3

），
∴纵坐标最大值为：

16

3

，
∴y=-

20

3

，
∴-

20

3

=-

4

3

x²+

8

3

x+4；
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴P点的坐标为：（4，-

20

3

），（-2，-

20

3

）；

（3）如图所示：
在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，
由勾股定理得BC=5，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC=∠BOC=90°，
∵∠DCE=∠OCB，
∴△DCE∽△OCB，
∴

CD

CO

=

CE

CB

=

DE

BO

，
∵CD=t，
∴

t

4

=

CE

5

=

DE

3

，
∴CE=

5

4

t，DE=

3

4

t，
∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4-

5

4

t+3+

3

4

t+5-t=12-

3

2

t，
t的取值范围是：0＜t＜

16

5

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定，根据已知得出△DCE∽△OCB，进而表示出EO，BO，DB，DE长是解题关键．