Question

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=-x沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平移的规律，可得BC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据等腰三角形的性质，可得BC的长，根据相似三角形的判定与性质，可得PF的长，根据线段的和差，可得F点坐标；
（3）根据轴对称，可得A′点，根据勾股定理，可得A′C，A′D，根据勾股定理的逆定理，可得∠CA′D=90°，根据等量代换，可得答案．

解答 解：（1）直线y=-x沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，得
y=-x+3，即C（0，3），（3，0）．
抛物线y=x²+bx+c过点B，C，
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（2）由y=x²-4x+3，当y=0时，x²-4x+3=0，解得x=1，x=3，即A（1，0），B（3，0）．
y=x²-4x+3=（x-2）²-1，D（2，-1）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3$\sqrt{2}$．
如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

AF=$\frac{1}{2}$AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$．
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PF}$．
解得PF=2．
点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．
（3）如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点A′，则A′（-1，0）．  

连结A′C，A′D，
可得A′C=AC=$\sqrt{10}$，∠OCA′=∠OCA．
由勾股定理可得CD²=20，A′D²=10．
又∵A′C²=10，
∴A′D²+A′C²=CD²．
∴△A′DC是等腰直角三角形，∠CA′D=90°，
∴∠DCA′=45°．
∴∠OCA′+∠OCD=45°．
∴∠OCA+∠OCD=45°．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45°．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出B、C点坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出PF的长是解题关键；利用勾股定理的逆定理得出∠CA′D=90°是解题关键．