Question

15．如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点．连结AF、HG、AH．
（1）求证：AF=HG；
（2）求证：∠FAD=∠GHC；
（3）试探究∠FAH与∠AFE的关系．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和已知得出AE=HC，AE∥HC，求出四边形AHCE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AH=EC，AH∥EC，求出四边形AHGF是平行四边形，即可得出答案；
（2）根据平行线得出∠FAH+∠AHG=180°，求出∠DAH=∠AHB，根据∠AHB+∠AHG+∠GHC=180°即可得出答案；
（3）过A点作AM∥EF，根据平行线的性质得出∠MAF=∠AFE，求出MA⊥AH，根据垂直得出∠MAF+∠FAH=90°，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，
∴AE=HC，AE∥HC，
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴AH=EC，AH∥EC，
又∵四边形ECGF为正方形，
∴EC=FG，EC∥FG，
∴AH=FG，AH∥FG，
∴四边形AHGF是平行四边形，
∴AH=FG；

（2）证明：∵四边形AHGF是平行四边形，
∴∠FAH+∠AHG=180°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH=∠AHB，
又∵∠AHB+∠AHG+∠GHC=180°，
∴∠FAD=∠GHC；

（3）∠FAH+∠AFE=90°，
证明：过A点作AM∥EF，
则∠MAF=∠AFE，
∵AM∥EF，AH∥EC，FE⊥EC，
∴MA⊥AH，
∴∠MAF+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFE=90°．

点评 本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，正方形的性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．