Question

2．抛物线y=x²+bx+c的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若△ABD为等腰三角形，△ABC为顶角为120°的等腰三角形，则c=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AC于点E，利用等腰三角形的性质、解直角三角形以及点的坐标与图形的性质求得点A、B、C的坐标，利用待定系数法来求函数解析式y=（x+m）（x+3m）=x²-4mx+2m²，易得m的值．则c=2m²=$\frac{3}{2}$．

解答 解：过点B作BE⊥AC于点E，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，∠CBO=60°，
∴BC=2OB=2m，BC=$\sqrt{3}$m，
∴BC=AB=2m．则A（-3m，0），B（-m，0），C（0，$\sqrt{3}$m）．
故设抛物线的解析式为y=（x+m）（x+3m）=x²+4mx+2m²．
把C（0，$\sqrt{3}$m）代入，得
$\sqrt{3}$m=2m²．
解得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则c=2m²=$\frac{3}{2}$．
故答案是：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标．解题时，需要掌握等腰三角形的性质，解直角三角形等知识．