题目内容
如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG= 4。
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②，
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B2的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S。
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②，
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B2的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S。
解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°
又∵GF∥BC， ∴∠AGF=∠AFG=45° ∴AG=AF=2， AB=AC=6
∴
（2）①∵在运动过程中有DG'∥BG且DG'=BG， ∴BDG'G是平行四边形
当DG⊥BG'时，BDG'G是菱形 ∴BD=BG=4
如图③，当BDG'G为菱形时，过点G'作G'M⊥BC于点M
在Rt△G'DM中，∠G'DM=45°，DG'=4，∴DM=G'M且
∴DM=G'M=
，∴BM=
连接G'B
在Rt△G'BM中，
②当0≤x≤
时，其重合部分为梯形，如图②
在Rt△AGF与Rt△ABC中，
，
过G点作GH垂直BC于点H，得GH=
。
由①，知BD=GG'=x，DC=
，
∴
当
≤x≤
时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③
∵斜边DC=
，斜边上的高为
，
∴
又∵GF∥BC， ∴∠AGF=∠AFG=45° ∴AG=AF=2， AB=AC=6
∴
（2）①∵在运动过程中有DG'∥BG且DG'=BG， ∴BDG'G是平行四边形
当DG⊥BG'时，BDG'G是菱形 ∴BD=BG=4
如图③，当BDG'G为菱形时，过点G'作G'M⊥BC于点M
在Rt△G'DM中，∠G'DM=45°，DG'=4，∴DM=G'M且
∴DM=G'M=
，∴BM= 连接G'B在Rt△G'BM中，
②当0≤x≤
时，其重合部分为梯形，如图②在Rt△AGF与Rt△ABC中，
，过G点作GH垂直BC于点H，得GH=
。由①，知BD=GG'=x，DC=
，∴
当
≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③∵斜边DC=
，斜边上的高为，∴
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