Question

【题目】综合与实践探究几何元素之间的关系

问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG.

（1）初步探究：

如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证；

（2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择_______题.

A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；

B.如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由；

（3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择_______题.

如图3，已知四边形ABCD为矩形，且，.

A.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.

B.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）A. ，理由见解析；B. . 理由见解析；（3）A. B.或

【解析】

（1）根据题意，AF⊥BE，CG⊥BE，，，则，利用AAS证明，即可得到答案；

（2）A．由（1）知，，然后得到OB=OA，由，得到，即可得到OF=OG；

B．延长GO交FA的延长线于点H，找到条件，证明，然后得到OH=OG=OF；

（3）A．根据矩形的性质，得到△ABO是等边三角形，然后得到∠ABF=30°，则，由勾股定理，求出BF和BG的长度，即可得到FG.

B．根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到△AFB和△BCG是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF和BG的长度，然后求出FG的长度即可.

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）A.解： ；

理由如下：如图1，连接OB，

由（1）知，，，

∵点O是AC的中点，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

B.解：.

理由如下：延长GO交FA的延长线于点H，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∵点O是AC的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴ ；

（3）A、解：如图：连接OB，

在直角三角形ABC中，OA=OB=OC，

∵∠BAC=60°，

∴△ABO是等边三角形，

∴∠ABO=60°，

∵BF=BG，

∴点B是FG的中点，

∴OB∥AF，

∴∠BAF=60°，

∵∠AFB=90°，

∴∠ABF=30°，

∴，

∴，

∴BG=，

∴FG=；

故答案为：.

B．解：①如图，OF∥BC，则OF⊥AB，

∵点O为AC中点，

∴点H为AB的中点，即AH=BH，

∴△ABF是等腰三角形，则AF=BF，

∵∠AFB=90°，

∴∠BAF=∠ABF=45°，

∴，

同理：△BCG是等腰直角三角形，，

∴，

∴；

②如图，OF∥BC，延长OF交AB于点I，

由①可知，△ABF是等腰直角三角形，，

△BCG是等腰直角三角形，，

∴；

综合上述，FG的长度为：或.

故答案为：或.