题目内容
15．如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
提示：看到这个问题后，小明猜想：BM+NC=MN，并且通过延长AC到点E，使得CE=BM，连接DE，再证明三角形全等，请你按照小明的思路写出证明过程．
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
分析 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段，MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．
（2）按要求作出图形，先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．
解答 解：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠MBD=∠ECD}\\{EC=BM}\end{array}\right.$，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC-BM．
理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵$\left\{\begin{array}{l}{EC=BM}\\{∠MBD=∠DCE}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
在△MDN和△EDN中
∵$\left\{\begin{array}{l}{ND=ND}\\{∠EDN=∠MDN}\\{MD=ED}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．
点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，有一张长方形纸板，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b（b＜4a），求长方形纸板的面积．
如图，若∠AOC=∠BOD，则有（ ）| A． | ∠1＞∠2 | B． | ∠1＜∠2 | ||
| C． | ∠1=∠2 | D． | ∠1与∠2的大小不能确定 |
| A． | （0，-2） | B． | （0，2） | C． | （2，0） | D． | （-2，0） |