Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．过点B的直线y=-

1

3

x+1与y轴交于点D．
（1）a=

 

，b=

 

；
（2）求∠DBC-∠CBE的值；
（3）若点Q为该二次函数的图象上的一点，且横坐标为-2，另有点P是x轴的正半轴上的任意一点，试判断PQ-PC和BQ-BC值的大小关系，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx-3与y轴交点为（0，-3），求出C（0，-3），再根据OB=OC=3OA，求出A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），利用待定系数法求出函数解析式．
（2）如图1，作EG⊥CO于G，连CE，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，则△CBE是直角三角形．分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义，得到tanα=

OD

OB

=

1

3

；tanβ=

CE

BC

=

2

3 2

=

1

3

；判断出则α=β，求出∠DBC-∠CBE=45°．
（3）需要分类讨论：①当点P与点B重合、点P异于点B两种情况．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3与y轴交点为（0，-3），
又∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
将A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²+bx-3，得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

，
故答案是：1；-2；

（2）如图1，作EG⊥CO于G，连CE．
∵A（-1，0），B（3，0），y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（0，-3）、E（1，-4）．
又∵直线y=-

1

3

x+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，∠GCE=45°，
∴∠BCE=180°-∠OCB-∠GCE=90°，即△CBE是直角三角形．
∴tanα=

OD

OB

=

1

3

，tanβ=

CE

BC

=

2

3 2

=

1

3

，
∴α=β，从而可得∠DBC-∠CBE=45°．

（3）结论：PQ-PC≤BQ-BC．
理由如下：∵点Q为二次函数y=x²-2x-3的图象上一点，且横坐标为-2，
∴Q（-2，5）．
①当点P与点B重合时，PC-PQ=BQ-BC；
②当点P异于点B时．
∵直线BQ经过点B（3，0），Q（-2，5），
∴直线BQ的函数关系式为：y=-x+3．
∵直线BQ与y轴的交点坐标是（0，3），并设此交点为H，
∴点H与点C是关于x轴对称的一对对称点，
∴BC=BH，PH=PC，
∴BQ-BC=BQ-BH=QH，PQ-PC=PQ-PH，
∴PQ-PC＜BQ-BC，
综上所述，PQ-PC≤BQ-BC．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、图象、一次函数的性质和图象，二次函数的最值等，有较大难度．