Question

【题目】如图，在矩形中，，连结，点在射线上，以为边在上方作，作，连结．

（1）当点在线段上时，证明：；

（2）若时，求的面积；

（3）的外接圆交射线于点，作直线交直线于点，交直线于点，连接，若，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）或．

【解析】

（1）根据相似三角形的判定和性质证明结论即可；

（2）分2种情况①当点在射线上时．先根据勾股定理求出AC的长，再作于点，构造直角三角形,根据相似三角形的判定和性质得出△PCM∽△ACB，进而推出，可设，，，在中，由，得出PM的值，进而求得的面积；②当点在线段上时，作于点，可得△PCM∽△ACB，同理可得的面积；

（3）分2种情况，①当点在线段的延长线上时，延长交于点，易得ΔEDM∽ΔGCF，设设，求出PB的长，再由△ABP∽△HFP，根据相似三角形的性质推出，求出FH的长；②当点在线段上，同理可得．

（1）证明：∵在矩形中，，，

∴，

又∵，

∴△AEP∽△ADC，

∴

（2）①当点在射线上时．

∵，

∴，

∴

中，

作于点，

可得△PCM∽△ACB，

∴，

∴可设，则，，

∴中，，

，

∴

的面积

②当点在线段上时，作于点，可得△PCM∽△ACB，

∴，

∴可设，则，，

∴中，，

，

∴

的面积

（3）∵，

又∵，，

∴，

∴，．

①当点在线段的延长线上时，延长交于点，

则，易得ΔEDM∽ΔGCF，

设，则有，，

∴，

，

，

又∵，

∴△ABP∽△HFP，

∴，

即，

∴

②当点在线段上，同理可得