Question

【题目】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD2=CACB；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE的长为5．

【解析】

（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论．

（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可．

（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．

解：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DBC，

∴，即CD2=CACB．

（2）证明：如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴∠1+∠3=90°．

∵OA=OD，

∴∠2=∠3．

∴∠1+∠2=90°．

又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°．

∴OD⊥OA．

又∵OA是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（3）如图，连接OE，

∵EB、CD均为⊙O的切线，

∴ED=EB，OE⊥DB．

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°．

∴∠ABD=∠OEB．

∴∠CDA=∠OEB．

∵tan∠CDA=，

∴．

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴．

∵BC=12，

∴CD=8．

在Rt△CBE中，设BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．

∴BE的长为5．