Question

6．已知∠AOB=140°，∠AOC=30°，若射线OE绕点O在∠AOB内部旋转，OF平分∠AOE．

（1）如图1，当∠EOB=40°时，请直接写出∠AOF和∠COF的度数：∠AOF=50°；∠COF=20°；
（2）请分别求出当∠COF=35°和10°时，∠EOB的度数（利用备用图，画出图形并写出简要的过程）；
（3）若∠COF=n°（0＜n＜30），请用含n的式子表示∠EOB的度数（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）先求得∠AOE=100°，然后由角平分线的定义可知∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=50°，然后根据∠COF=∠AOF-∠AOC求解即可；
（2）当∠COF=35°时，如图①所示，由题意可知∠AOF=65°，由角平分线的定义可知∠AOE=130°，然后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE=求解即可；当∠COF=10°时，应根据OF在∠AOC的内部和外部两种情况分类计算；
（3）与（2）的方法相同，依据OF在∠AOC的内部和外部两种情况分类计算即可．

解答 解：（1）∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-40°=100°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×100°=50°．
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=50°-30°=20°．
故答案为：50；20°．
（2）当∠COF=35°时，如图①所示：

∵∠AOF=∠AOC+∠COF，
∴∠AOF=30°+35°=65°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=2×65°=130°．
∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140-130°=10°．
如图②所示：当∠COF=10°时．

∵∠AOC=30°，∠COF=10°，
∴∠AOF=20°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=40°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-40°=100°．
如图③所示：当∠COF=10°时．

∵∠AOC=30°，∠COF=10°，
∴∠AOF=40°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=80°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-80°=60°．
∴∠BOE的度数为100°或60°．
（3）如图②所示：
∵∠AOC=30°，∠COF=n°，
∴∠AOF=（30-n）°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=（60-2n）°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-（60-2n）°=（80+2n）°．
如图③所示：
∵∠AOC=30°，∠COF=n°，
∴∠AOF=（30+n）°．
∵OF平分角∠AOE，
∴∠AOE=2∠AOF=（60+2n）°．
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=140°-（60+2n）°=（80-2n）°．
综上所述，∠EOB=（80-2n）°或（80+2n）°．

点评 本题主要考查的是角的计算，根据OF的位置进行分类讨论是解题的关键．