Question

9．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE，交DE于F，∠ABC=45°，且BD平分∠ABC，请你证明，BD=2FE．

Answer 1

分析 连接CF，延长BA、CF交N，首先证明△ACF≌△AEF（SAS），推出CF=EF，再证△BFC≌△BFN，推出CN=2CF=2EF，证△BAD≌△CAN，推出BD=CN，即可得出答案．

解答 证明：连接CF，延长BA、CF交N，
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴CF=EF
∵∠ABC=45°，BD平分∠ABC，AB=AC，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBF=∠CBF}\\{BF=BF}\\{∠BFN=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，
即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACN}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAN}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∵CF=EF
∴BD=CN=2CF=2EF．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．