Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠DAB，过点A作直线l的垂线，垂足为点D．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AB=8，求AC的长；
（3）若tan∠DAC=

3

4

，AC=8，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出OC∥AD，推出∠OCD=∠ADC=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可；
（3）求出tan∠BAC=tan∠DAC=

3

4

，求出tan∠BAC=

BC

AC

=

BC

8

=

3

4

，求出BC，根据勾股定理求出AB即可．

解答：证明：（1）∵弦AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵过点A作直线l的垂线，垂足为点D，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴直线l是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△DAC∽△CAB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

6

AC

=

AC

8

，
∴AC=4

3

；

（3）解：∵tan∠DAC=

3

4

，∠DAC=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠DAC=

3

4

在Rt△CAB中，
∵tan∠BAC=

BC

AC

=

BC

8

=

3

4

，
∴BC=6，
AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．

点评：本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，题目综合性比较强，难度适中．