Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；

（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

Answer 1

解：（1）令y=0，得x²+5x+4=0，

∴x₁=﹣4，x₂=﹣1，

令x=0，得y=4，

∴A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，4）．

（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），

∴所求抛物线的函数表达式为y=ax²+bx﹣4，

将（4，0），（1，0）代入上式，得

解得：，

∴y=﹣x²+5x﹣4．

（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，

由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，

∴四边形AMA′M′为平行四边形，

又知AA′与MM′不垂直，

∴平行四边形AMA′M′不是菱形，

过点M作MD⊥x轴于点D，

∵y=，

∴M（），

又∵A（﹣4，0），A′（4，0）

∴AA′=8，MD=，

∴=