Question

2．如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB=AC=8cm，BC=14cm，

（1）过点A作AH⊥BC于H，求AB边上的高的长．
（2）如果D为AB中点，点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（3）如图3，点E，F分别在线段BD，DC上，若∠ABD+∠ACD=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}∠BAC$，求证：BE+FC=EF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到BH=$\frac{1}{2}$BC=7cm，由勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{7}^{2}}$=$\sqrt{15}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可；
（3）延长DC到G使CG=BE，根据全等三角形的性质得到∠CAG=∠BAE，AE=AG，根据已知条件得到∠GAF=∠EAF，根据全等三角形的性质得到EF=FG，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC=8cm，AH⊥BC于H，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=7cm，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{7}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
设AB边上的高为h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$BC•AH，
∴h=$\frac{7\sqrt{15}}{4}$，
∴AB边上的高的长为$\frac{7\sqrt{15}}{4}$；
（2）解：∵AB=8cm，BC=14cm，点D为AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，
PC=（14-3t）cm，
①当BD=PC时，14-3t=4，
解得：t=$\frac{10}{3}$，
则BP=CQ=3t=10，（不合题意，舍去），
②当BP=PC时，∵BC=14cm，
∴BP=PC=7cm，
∴t=7÷3=$\frac{7}{3}$（秒），
故点Q的运动速度为4÷$\frac{7}{3}$=$\frac{12}{7}$（厘米/秒）；
∴当点Q的运动速度为$\frac{12}{7}$（厘米/秒）时，△BPD与△CQP全等；
（3）延长DC到G使CG=BE，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠ACG=180°，
∴∠B=∠ACG，
在△ABE与△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACG}\\{BE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACG，
∴∠CAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}∠BAC$，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF与△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AFG，
∴EF=FG，
∵FG=CF+CG=CF+BE，
∴BE+FC=EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．