Question

7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是a²-b²（写成平方差的形式）
（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是（a+b）（a-b）（写成多项式相乘的形式）
（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b²．
（4）利用所得公式计算：2（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{14}}$．

Answer 1

分析 （1）根据图1确定出阴影部分面积即可；
（2）根据图2确定出长方形面积即可；
（3）根据两图形面积相等得到乘法公式；
（4）利用得出的平方差公式计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a²-b²；
（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a-b）；
（3）可得（a+b）（a-b）=a²-b²；
（4）原式=4（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{14}}$
=4（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$））（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{14}}$
=4（1-$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{14}}$
=4（1-$\frac{1}{{2}^{8}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）+$\frac{1}{{2}^{14}}$
=4（1-$\frac{1}{{2}^{16}}$）+$\frac{1}{{2}^{14}}$
=4-$\frac{1}{{2}^{14}}$+$\frac{1}{{2}^{14}}$
=4．
故答案为：（1）a²-b²；（2）（a+b）（a-b）；（3）（a+b）（a-b）=a²-b²

点评 此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．