Question

14．如图，已知△ABC为等边三角形，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是射线BD上的动点，以AE为边在直线AE的右侧作等边△AEF，连接EF．
（1）如图①，当点F在BD上时，求证：FB=FE；
（2）如图②，当点F不在BD上时，（1）的结论是否成立？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点F作EG⊥AB，证得△ADE≌△AFG，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题．

解答 证明：（1）∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，
∵△ABC为等边三角形，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABD=30°，∠AFE=∠ABD+∠FAB，
∴∠FAB=60°-30°=30°，
∴∠ABD=∠FAB，
∴FB=AF，
∴FB=FE；

（2）过点F作FG⊥AB于G，
∵△ABC，△AEF为等边三角形，
∴AF=AE，∠CAB=∠EAF=60°，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAF-∠EAB，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE与△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠AGF}\\{∠DAE=∠GAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AGF，
∴AG=AD，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=BF，
∴FB=FE．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．