Question

3．如图，△ABC的边AB，AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，DF∥BC．求证：AB=AC．

Answer 1

分析 分别过D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为M、H、N，证明Rt△BDM≌Rt△ABH，得到DM=BH，同理FN=CH，根据两平行线间的距离相等得到DM=FN，于是BH=CH，根据线段垂直平分线的性质得出结论．

解答 证明：如图，分别过D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为M、H、N，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB=BD，∠DBA=90°，
∴∠DBM=90°-∠ABH，
∵∠BAH=90°-∠ABH，
∴∠BAH=∠DBM，
∵DM⊥MB，AH⊥BC，
∴∠DMB=∠BHA，
在Rt△BDM和Rt△ABH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMB=∠BHA}\\{∠BAH=∠DBM}\\{AB=DB}\end{array}\right.$
∴Rt△BDM≌Rt△ABH
∴DM=BH
同理：FN=CH
∵DF∥BC
∴DM=FN
∴BH=CH
∵AH⊥BC
∴AB=AC．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质以及线段垂直平分线的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，此题有一定难度．