Question

13．已知O为锐角△ABC的外心，D、E分别在AB、AC上，且使得∠DOB=∠ABC，∠EOC=∠ACB．证明：BA•BD=CE•CA．

Answer 1

分析 连接AO并延长交BC于F，由三角形的外心得出OA=OB=OC，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠DBO，证明△ABF∽△BOD，得出对应边成比例$\frac{AB}{BO}=\frac{AF}{BD}$，得出AB•BD=AF•BO，同理：CE•CA=AF•OC，即可得出结论．

解答 证明：连接AO并延长交BC于F，如图所示：
∵O为锐角△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠DBO，
∵∠ABC=∠DOB，
∴△ABF∽△BOD，
∴$\frac{AB}{BO}=\frac{AF}{BD}$，
∴AB•BD=AF•BO，
同理：CE•CA=AF•OC，
∵OC=OB，
∴BA•BD=CE•CA．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外心、等腰三角形的性质；熟练掌握三角形的外心性质，证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．